Question

【题目】△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，BD⊥l，AE⊥l，，垂足分别为D、E．

（1）当A、B在直线l同侧时，如图1，

①证明：△AEC≌△CDB；

②若AE=3,BD=4,计算△ACB的面积.(提示：间接求)

(2)当A. B在直线l两侧时，如图2，若AE=3，BD=4，连接AD，BE直接写出梯形ADBE的面积___.

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②12.5；（2）3.5

【解析】

（1）①根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB；

②根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可，再利用勾股定理得出AC和BC的长计算即可；

（2）根据垂直定义求出∠AEC=∠BDC=90°，求出∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，求出∠EAC=∠BCD，根据AAS推出△AEC≌△CDB，根据全等三角形的性质推出CE=BD和AE=CD即可，利用梯形面积解答即可．

(1)①∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

，

∴△AEC≌△CDB(AAS)；

②∵△AEC≌△CDB，

∴CE=BD，AE=CD，∠ACE=∠DBC，

∵ED=CE+CD,∠DBC+∠BCD=90°，

∴ED=AE+BD,∠ACE+∠BCD=90°，

在Rt△ACB中,AC=BC==5，

∴△ACB的面积=×5×5=12.5；

(2)∵直线l过点C，BD⊥l，AE⊥l，

∴∠AEC=∠BDC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°，

∴∠EAC=∠BCD，

在△AEC和△CDB中，

，

∴△AEC≌△CDB(AAS)，

∴CE=BD，AE=CD，

∵ED=CECD，

∴ED=BDAE=43=1，

梯形ADBE的面积=×(3+4)×1=3.5.

故答案为：3.5.