Question

【题目】已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣ x2+mx+n的图象经过A，C两点．

（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）求证：∠BEF=∠AOE；
（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；
（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2 +1）倍？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①，

∵A（﹣2，0）B（0，2）

∴OA=OB=2，

∴AB2=OA2+OB2=22+22=8

∴AB=2 ，

∵OC=AB

∴OC=2 ，即C（0，2 ）

又∵抛物线y=﹣ x2+mx+n的图象经过A、C两点

则可得 ，

解得 ．

∴抛物线的表达式为y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE，

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF，

∴∠BEF=∠AOE．

（3）

解：当△EOF为等腰三角形时，分三种情况讨论

①当OE=OF时，∠OFE=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EOF=180°﹣∠OEF﹣∠OFE=180°﹣45°﹣45°=90°

又∵∠AOB=90°

则此时点E与点A重合，不符合题意，此种情况不成立．

②如图2，

当FE=FO时，

∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，

∠EFO=180°﹣∠OEF﹣∠EOF=180°﹣45°﹣45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°

∴EF∥AO，

∴∠BEF=∠BAO=45°

又∵由（2）可知，∠ABO=45°

∴∠BEF=∠ABO，

∴BF=EF，

EF=BF= OB= ×2=1

∴E（﹣1，1）

③如图③，

当EO=EF时，过点E作EH⊥y轴于点H

在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE，EO=EF，∠AOE=∠BEF

∴△AOE≌△BEF，

∴BE=AO=2

∵EH⊥OB，

∴∠EHB=90°，

∴∠AOB=∠EHB

∴EH∥AO，

∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中，∵∠BEH=∠ABO=45°

∴EH=BH=BEcos45°=2× =

∴OH=OB﹣BH=2﹣ ∴E（﹣ ，2﹣ ）

综上所述，当△EOF为等腰三角形时，所求E点坐标为E（﹣1，1）或E（﹣ ，2﹣ ）

（4）

解：假设存在这样的点P．

当直线EF与x轴有交点时，由（3）知，此时E（﹣ ，2﹣ ）．

如图④所示，

过点E作EH⊥y轴于点H，则OH=FH=2﹣ ．

由OE=EF，易知点E为Rt△DOF斜边上的中点，即DE=EF，

过点F作FN∥x轴，交PG于点N．

易证△EDG≌△EFN，因此S△EFN=S△EDG，

依题意，可得

S△EPF=（2 +1）S△EDG=（2 +1）S△EFN，

∴PE：NE=（2 +1）：1．

过点P作PM⊥x轴于点M，分别交FN、EH于点S、T，则ST=TM=2﹣ ．

∵FN∥EH，

∴PT：ST=PE：NE=2 +1，

∴PT=（2 +1）ST=（2 +1）（2﹣ ）=3 ﹣2；

∴PM=PT+TM=2 ，即点P的纵坐标为2 ，

∴﹣ x2﹣ x+2 =2 ，

解得x1=0，x2=﹣1，

∴P点坐标为（0，2 ）或（﹣1，2 ）．

综上所述，在直线EF上方的抛物线上存在点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2 +1）倍；

点P的坐标为（0，2 ）或（﹣1，2 ）

【解析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用三角形外角性质，易证∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论，注意不要漏解；（4）本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标，要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比．如图④所示，首先证明点E为DF的中点，然后作x轴的平行线FN，则△EDG≌△EFN，从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE：NE；过点P作x轴垂线，可依次求出线段PT、PM的长度，从而求得点P的纵坐标；最后解一元二次方程，确定点P的坐标．