Question

【题目】（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC=AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【答案】

（1）PC是⊙O的切线，证明略。

（2）BC=AB，证明略。

（3）MC·MN=BM2=8

【解析】（本题满分10分）

解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO

∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB

∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分

∵AB是⊙O的直径

∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分

∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分

∵OC是⊙O的半径

∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分

（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P

∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB

∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分

∴BC=OC

∴BC=AB ………………………………………………………6分

(3)连接MA,MB

∵点M是弧AB的中点

∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分

∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM

∵∠BMC=∠BMN

∴△MBN∽△MCB

∴

∴BM2=MC·MN ……………………8分

∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM

∴∠AMB=90°,AM=BM

∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分

∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分