Question

【题目】在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD于点E，交AB于点F，将△AEF折叠，使点A落在点A′处，当△A′CD时等腰三角形时，AP的长为_____．

Answer 1

【答案】或．

【解析】首先证明四边形AEA′F是菱形，分两种情形：①CA′=CD，②A′C=A′D分别计算即可．

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，∠DAC=∠BAC，

∵EF⊥AA′，

∴∠EPA=∠FPA=90°，

∴∠EAP+∠AEP=90°，∠FAP+∠AFP=90°，

∴∠AEP=∠AFP，

∴AE=AF，

∵△A′EF是由△AEF翻折，

∴AE=EA′，AF=FA′，

∴AE=EA′=A′F=FA，

∴四边形AEA′F是菱形，

∴AP=PA′

①当CD=CA′时，∵AA′=AC﹣CA′=3，

∴AP=AA′=．

②当A′C=A′D时，∵∠A′CD=∠A′DC=∠DAC，

∴△A′CD∽△DAC，

∴=，

∴A′C=，

∴AA=8﹣=，

∴AP=AA′=．

故答案为或．

“点睛”本题考查菱形的性质、翻折变换、等腰三角形的判断和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解. 属于中考常考题型.