Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，且点B的横坐标为1，过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=（k≠0）的图象于点C，连接BC．

（1）求反比例函数的表达式及△ABC的面积；

（2）直接写出当x＜1时，y=（k≠0）中y的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y=，S△ABC=ACBD=×4×3=6；（2）当x＜0时，y＜0．

【解析】

试题分析：（1）先由一次函数y=3x+1的图象过点B，且点B的横坐标为1，将x=1代入y=3x+1，求出y的值，得到点B的坐标，再将B点坐标代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；根据一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，1），再将y=1代入y=，求出x的值，那么AC=4．过B作BD⊥AC于D，则BD=yB﹣yC=4﹣1=3，然后根据S△ABC=ACBD，将数值代入计算即可求解；

（2）根据x＜1时，得到，于是得到y的取值范围．

解：（1）∵一次函数y=3x+1的图象过点B，且点B的横坐标为1，

∴y=3×1+1=4，

∴点B的坐标为（1，4）．

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴k=1×4=4，

∴反比例函数的表达式为y=，

∵一次函数y=3x+1的图象与y轴交于点A，

∴当x=0时，y=1，

∴点A的坐标为（0，1），

∵AC⊥y轴，

∴点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，是1，

∵点C在反比例函数y=的图象上，

∴当y=1时，1=，解得x=4，

∴AC=4．

过B作BD⊥AC于D，则BD=yB﹣yC=4﹣1=3，

∴S△ABC=ACBD=×4×3=6；

（2）由图形得：∵当0＜x＜1时，，

∴y＞4，

当x＜0时，y＜0．