Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=﹣ x+ 与x轴交于C点，与y轴交于点E，点A在x轴的负半轴，以A点为圆心，AO为半径的圆与直线的CE相切于点F，交x轴负半轴于另一点B．
（1）求⊙A的半径；
（2）连BF、AE，则BF与AE之间有什么位置关系？写出结论并证明．
（3）如图②，以AC为直径作⊙O1交y轴于M，N两点，点P是弧MC上任意一点，点Q是弧PM的中点，连CP，NQ，延长CP，NQ交于D点，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AF，如图①a．

∵直线y=﹣ x+ 与x轴交于C点，与y轴交于E点，

∴点C的坐标为（2，0），点E的坐标为（0， ），

∴OC=2，OE= ．

∵∠EOC=90°，

∴EC= = ．

∵AO⊥OE，∴直线OE与⊙A相切于点O．

又∵直线CE与⊙A相切于点F，

∴∠AFC=90°，EF=OE= ，

∴FC=FE+EC= + =2 ．

在Rt△AFC中，

设AF=x，则AO=x，AC=x+2．

根据勾股定理可得：x2+（2 ）2=（x+2）2，

解得：x=1．

∴⊙A的半径为1

（2）解：BF∥AE．

证明：连接OF，交AE于点H，如图①b．

∵EF、EO分别与⊙A相切于点F、O，

∴EF=EO，EA平分∠FEO，

∴EA⊥OF，即∠AHO=90°．

∵BO是⊙A的直径，

∴∠BFO=90°，

∴∠BFO=∠AHO，

∴BF∥AE

（3）解：连接QC、QM、MC、NC、MO1，如图②．

∵AC是⊙O1的直径，AC⊥MN，

∴ ，

∴∠NQC=∠MNC．

∵∠MQC+∠MNC=180°，∠DQC+∠NQC=180°，

∴∠MQC=∠DQC．

∵点Q是 的中点，

∴∠MCQ=∠PCQ．

在△MCQ和△DCQ中，

，

∴△MCQ≌△DCQ（ASA），

∴MC=DC．

∵OA=1，OC=2，

∴AC=3，AO1= ，OO1= ，

在Rt△MOO1中，

MO1=AO1= ，OO1= ，

∴MO= = ．

在Rt△MOC中，

MC= = ，

∴DC= ．

∴CD的长为

【解析】（1）连接AF，如图①a，由直线EC的解析式可求出OE、OC的长，根据勾股定理可求出EC的长，然后根据切线长定理可求出EF的长，然后在Rt△AFC中运用勾股定理就可求出圆的半径．（2）连接OF，交AE于点H，如图①b，根据切线长定理可得EF=EO，EA平分∠FEO，根据等腰三角形的性质可得∠AHO=90°，由BO是⊙A的直径可得∠BFO=90°，从而得到∠BFO=∠AHO，即可得到BF∥AE．（3）连接QC、QM、MC、NC、MO1 ， 如图②，易证△MCQ≌△DCQ，则有MC=DC．在Rt△MOO1中，运用勾股定理可求出MO的长，然后在Rt△MOC中，运用勾股定理就可求出MC，即可得到CD的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的判定的相关知识，掌握同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．