Question

【题目】如图，在矩形中，为边上一点，平分，为的中点，连接，过点作分别交于，两点．

（1）求证：；

（2）求证：；

（3）当时，请直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4 .

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠DCE=∠DEC，进而得出DE=DC；

（2）连接DF，根据等腰三角形的性质得出∠DFC=90°，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF= EC，再根据SAS判定△ABF≌△DCF，即可得出∠AFB=∠DFC=90°，据此可得AF⊥BF；

（3）根据等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH，再根据公共角∠EFG=∠AFE，即可判定△EFG∽△AFE，进而得出EF2=AFGF=28，求得EF=2，即可得到CE=2EF=4．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，

∵EC平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；

（2）如图，连接DF，

∵DE=DC，F为CE的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，

在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF=EC，∴∠ABF=∠CEB，

∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，

在△ABF和△DCF中， ，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，

∴AF⊥BF；

（3）CE=4 ．

理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，

∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，

∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，

∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴ ，即EF2=AFGF，

∵AFGF=28，∴EF=2 ，∴CE=2EF=4．