Question

【题目】如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE，过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P．

（1）求证：AC2=AEAB；

（2）试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

（3）设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析；（3）线段PQ的最小值是﹣4．

【解析】分析：（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；
（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；
（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．

详解：证明：(1)如图1,连接BC,

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴=,

∴∠A=∠ABC，

∵EC=AE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△AEC∽△ACB，

∴

∴

(2)PB=PE，理由是：

如图2，连接OB，

∵PB为⊙O的切线,

∴OB⊥PB，

∴

∴

∵

∴∠PBN=∠COB，

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∠COB=2∠A，

∴∠PEB=∠COB，

∴∠PEB=∠PBN，

∴PB=PE；

(3)如图3，∵N为OC的中点，

∴

Rt△OBN中,

∴

∵OC=OB，

∴△OCB为等边三角形，

∵Q为⊙O任意一点，

连接PQ、OQ，

因为OQ为半径，是定值4，

则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，

当P、Q、O三点共线时，PQ最小，

∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，

∴

∴△PBE是等边三角形，

Rt△OBN中,

∴

设AE=x,则CE=x,

Rt△CNE中,

∴

Rt△OPB中,

∴

则线段PQ的最小值是