Question

【题目】如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中、分别交射线于点，．

（1）依题意补全图形；

（2）若，求的大小（用含的式子表示）；

（3）若，，求的长度（用，的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）60°－；（3）PB=x+2y．

【解析】

（1）根据题目要求正确画图即可；

（2）根据对称得CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质可得结论；

（3）作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC，则BF＝PD＝2PE，然后根据PB=PF+BF可得结论．

解：（1）如图：

（2）∵点A与点D关于CN对称，

∴CN是AD的垂直平分线，

∴CA=CD，

∵，

∴∠ACD=2，

∵CA=CB=CD，∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α．

∴∠BDC=∠DBC=（180°－∠BCD）=60°－α；

（3）在PB上截取PF使PF=PC，连接CF，

设，

∵CA=CD，∠ACD=2α，

∴∠CDA=∠CAD=90°－α，

∵∠BDC=60°－α，

∴∠PDE=∠CDA－∠BDC=30°，

∴PD=2PE，

∵∠CPF=∠DPE=90°－∠PDE=60°，

∴△CPF是等边三角形，

∴∠CPF=∠CFP=60°，

∴∠BFC=∠DPC=120°，

∴在△BFC和△DPC中，

，

∴△BFC≌△DPC，

∴BF=PD=2PE，

∴PB=PF+BF=PC+2PE=x+2y．