Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=2 ，∠BAC=120°，点D，E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE的长为 ．

Answer 1

【答案】3 ﹣3
【解析】（方法一）将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，连接EF，过点E作EM⊥CF于点M，过点A作AN⊥BC于点N，如图所示．

∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，

∴BN=CN，∠B=∠ACB=30°．

在Rt△BAN中，∠B=30°，AB=2 ，

∴AN= AB= ，BN= =3，

∴BC=6．

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．

在△ADE和△AFE中， ，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

∴DE=FE．

∵BD=2CE，BD=CF，∠ACF=∠B=30°，

∴设CE=2x，则CM=x，EM= x，FM=4x﹣x=3x，EF=ED=6﹣6x．

在Rt△EFM中，FE=6﹣6x，FM=3x，EM= x，

∴EF2=FM2+EM2，即（6﹣6x）2=（3x）2+（ x）2，

解得：x1= ，x2= （不合题意，舍去），

∴DE=6﹣6x=3 ﹣3．

所以答案是：3 ﹣3．

（方法二）：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．

∵AB=AC=2 ，∠BAC=120°，

∴∠ACB=∠B=∠ACF=30°，

∴∠ECG=60°．

∵CF=BD=2CE，

∴CG=CE，

∴△CEG为等边三角形，

∴EG=CG=FG，

∴∠EFG=∠FEG= ∠CGE=30°，

∴△CEF为直角三角形．

∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，

∴∠BAD+∠CAE=60°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．

在△ADE和△AFE中， ，

∴△ADE≌△AFE（SAS），

∴DE=FE．

设EC=x，则BD=CD=2x，DE=FE=6﹣3x，

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，CF=2x，EC=x，

EF= = x，

∴6﹣3x= x，

x=3﹣ ，

∴DE= x=3 ﹣3．

所以答案是：3 ﹣3．

【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念和旋转的性质，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．