Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，BC上，连接BE，DF，EF，BD，若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+FC，则边BC的长为( )

A. 2 B. 6 C. 3 D.

Answer 1

【答案】C

【解析】根据矩形的性质和菱形的性质得∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，AB=BO=3，因为四边形BEDF是菱形，所以BE，AE可求出进而可求出BC的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
即BA⊥BF，
∵四边形BEDF是菱形，
∴EF⊥BD，∠EBO=∠DBF，
∵EF=AE+FC，AE=CF，EO=FO
∴AE=EO=CF=FO，
∴AB=BO=3，∠ABE=∠EBO，
∴∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°，

在Rt△BAE中，设AE=x，则BE=2x，由勾股定理得，
∴AB2+AE2=BE2，即32+x2=（2x）2，

BE=2，

∴BF=BE=2，
∴CF=AE=，
∴BC=BF+CF=3，
故选C．

“点睛”本题考查了矩形的性质、菱形的性质以及在直角三角形中30°角所对的直角边时斜边的一半，解题的关键是求出∠ABE=∠EBD=∠DBC=30°．