Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（ ）
A.∠ECD=112.5°
B.DE平分∠FDC
C.∠DEC=30°
D.AB= CD

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠CAB=45°， ∴∠B=∠ACB=67.5°．
∵Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，AD=DC，
∴∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，故A正确，不符合题意；
∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE= AB，FE∥AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．
∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，
∴FD= AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∵AB=AC，
∴FE=FD，
∴∠FDE=∠FED= （180°﹣∠EFD）= （180°﹣135°）=22.5°，
∴∠FDE= ∠FDC，
∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；
∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，
∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；
∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，
∴AC= CD，
∵AB=AC，
∴AB= CD，故D正确，不符合题意．
故选C．
【考点精析】掌握等腰三角形的性质和三角形中位线定理是解答本题的根本，需要知道等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．