Question

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE

（1）求证:CE=AD

（2）若D为AB的中点,则∠A的度数满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由见解析.

【解析】分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，根据直角三角形的斜边上的中线求出 CD=BD，根据菱形的判定，和正方形的判定推出即可．

详解：（1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD；

（2）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，

理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC，

∵D为BA中点，

∴CD⊥AB，AD=BD

∴∠CDB=90°，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；

∴四边形BECD是正方形，

即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．