Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A(0, ).

（1）若此抛物线经过点B（2，-），且与轴相交于点E、F.

①填空：b= （用含a的代数式表示）；

②当EF的值最小时，求出EF的最小值和抛物线的解析式；

（2）若，当，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值.

Answer 1

【答案】（1）①b=-2a-1；②EF有最小值，抛物线解析式为y=x2﹣3x+；（2）b的值为1或﹣5．

【解析】试题分析：（1）①由A点坐标可求得c，再把B点坐标代入可求得b与a的关系式，可求得答案；②用a可表示出抛物线解析式，令y=0可得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可用a表示出EF的值，再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值，可求得抛物线解析式；

（2）可用b表示出抛物线解析式，可求得其对称轴为x=-b，由题意可得出当x=0、x=1或x=-b时，抛物线上的点可能离x轴最远，可分别求得其函数值，得到关于b的方程，可求得b的值．

试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，且经过点A（0， ），

∴c=，

∵抛物线经过点B（2，-），

∴-=4a+2b+，

∴b=-2a-1，

故答案为：-2a-1；

②由①可得抛物线解析式为y=ax2-（2a+1）x+，

令y=0可得ax2-（2a+1）x+=0，

∵△=（2a+1）2-4a×=4a2-2a+1=4（a-）2+＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，设为x1、x2，

∴x1+x2=，x1x2=，

∴EF2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2==（-1）2+3，

∴当a=1时，EF2有最小值，即EF有最小值，

∴抛物线解析式为y=x2-3x+；

（2）当a=时，抛物线解析式为y=x2+bx+，

∴抛物线对称轴为x=-b，

∴只有当x=0、x=1或x=-b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，

当x=0时，y=，当x=1时，y=+b+=2+b，当x=-b时，y=（-b）2+b（-b）+=-b2+，

①当|2+b|=3时，b=1或b=-5，且顶点不在范围内，满足条件；

②当|-b2+|=3时，b=±3，对称轴为直线x=±3，不在范围内，故不符合题意，

综上可知b的值为1或-5．