Question

【题目】如图，己知函数y=﹣ x+4的图象与坐标轴的交点分别为点A、B，点C与点B关于x轴对称，动点P、Q分别在线段BC、AB上（点P不与点B、C重合）．且∠APQ=∠ABO

（1）点A的坐标为 ， AC的长为；
（2）判断∠BPQ与∠CAP的大小关系，并说明理由；
（3）当△APQ为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）（3,0）,5
（2）解：∠BPQ=∠CAP．理由如下：

∵点C与点B关于x轴对称，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠APQ=∠ABC，

∴∠ACB=∠APQ，

∵∠BPA=∠ACB+∠CAP，

即∠BPQ+∠APQ=∠ACB+∠CAP，

∴∠BPQ=∠CAP；

（3）解：当PA=PQ，如图1，则∠PQA=∠PAQ，

∵∠PQA=∠1+∠BPQ=∠APQ+∠BPQ=∠BPA，

∴BP=BA=5，

∴OP=BP﹣OB=1，

∴P（0，﹣1）；

当AQ=AP，则∠AQP=∠APQ，

而∠AQP=∠BPA，所以此情况不存在；

当QA=QP，如图2，则∠APQ=∠PAQ，

而∠1=∠APQ，

∴∠1=∠PAQ，

∴PA=PB，

设P（0，t），则PB=4﹣t，

∴PA=4﹣t，

在Rt△OPA中，∵OP2+OA2=PA2，

∴t2+32=（4﹣t）2，解得t= ，

∴P（0， ），

综上所述，满足条件的P点坐标为（0，﹣1），（0， ）．

【解析】解：（1）当y=0时，﹣ x+4=0，解得x=3，则A（3，0），

当x=0时，y=﹣ x+4=4，则B（0，4），

∵点C与点B关于x轴对称，

∴C（0，﹣4），

∴AC= =5；

所以答案是（3，0），5；

【考点精析】本题主要考查了三角形的外角和勾股定理的概念的相关知识点，需要掌握三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能正确解答此题．