Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c=0；③4ac﹣b2＜2a；④2b=3a．
其中正确的结论是（ ）

A.①③
B.②④
C.①④
D.②③

Answer 1

【答案】D
【解析】①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），

∴a＞0，﹣ =1，c＜0，

∴b=﹣2a＜0，

∴abc＞0，结论①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，

∴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的另一个交点为（3，0），

∴9a+3b+c=0，结论②正确；③∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），

∴抛物线顶点纵坐标 ＜﹣1，

∵a＞0，

∴4ac﹣b2＜﹣4a＜2a，结论③正确；④∵抛物线对称轴为直线x=1，

∴﹣ =1，b=﹣2a，结论④错误．

综上所述，正确的结论有：②③．

所以答案是：D．

【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象以及系数a、b、c的关系的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）才能正确解答此题．