Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE=BE-AD.

【解析】试题分析：（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，推出∠ACD=∠CBE，根据AAS可得Rt△ADC≌Rt△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；

（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠CBE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，根据线段的和差即可得到答案；

（3）同前两问可得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，根据线段的和差即可得出结论．

试题解析：

证明：（1）∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC与△CEB中，

∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，

∴∠ACD=∠CBE

在△ADC与△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，

∴△ADC≌△CEB (AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD.

理由：同（1）（2）证法可得△ADC≌△CEB ，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CD-CE=BE-AD．