Question

【题目】如图，已知抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴负半轴交于点C且OB=OC，点P为抛物线上的一个动点，且点P位于x轴下方，点P与点C不重合。

（1）求抛物线的解析式
（2）若△PAC的面积为 ，求点P的坐标
（3）若以A、B、C、P为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，对应的点P有且只有2个？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y= x2+ax+4a与y轴负半轴交于点C，

∴C（0，4a），4a＜0，

∵OB=OC，

∴B（-4a，0），

∵B在抛物线上，

∴ （-4a）2+a（-4a）+4a=0，

解得a=0或a=-1，

∵a＜0，

∴a=-1，

∴抛物线的解析式为y= x2-x-4；

（2）解：设P（m， m2-m-4），

由y= x2-x-4得A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），

①如图1，P在B、C之间时，即0＜m＜4，设PA与y轴交于D，

∵A（-2，0），P（m， m2-m-4），

∴直线PA的解析式为y= （m-4）（x+2），

∴D（0，m-4），

∴CD=m，

∴S△PAC= DC（xP-xA）= m（m+2），

∵△PAC的面积为 ，

∴ m（m+2）= ，

解得m=-1± ，

∵0＜m＜4，

∴m=-1+ ，

yP=- -2 ，故P（-1+ ，- -2 ）；

②如图2，点P在A、C之间时，即-2＜m＜0，过P作y轴平行线交于AC于D点，

∵A（-2，0），C（0，4），

∴直线AC的解析式为y=-2x-4，

∴D（m，-2m-4），

∴PD=-2m-4-（ m2-m-4）=- m2-m，

∴S△PAC= PD（xC-xA）=- m2-m，

∴- m2-m= ，解得m=-1，

∴P（-1，- ），

综上，符合条件的点P有两个，分别是（-1+ ，- -2 ）或（-1，- ）；

（3）解；由题意可得：P（m， m2-m-4），

①如图3，当点P在A、C之间时，即-2＜m＜0，连接AC，

则S四边形APCB=S△PAC+S△ABC，

由（2）得S△PAC=- m2-m，

∵A（-2，0），B（4，0），C（0，-4），

∴S△ABC= ABCO=1，

∴S=- m2-m+12=- （m+1）2+ ，

∵-2＜m＜0，

∴12≤S≤ ，

此时当12≤S≤ 时，对应的点P有且只有2个；当S= 时，对应的点P有且只有1个．

②如图4，当点在B、C之间时，即0＜m＜4，连接PA，

则S四边形APCB=S△PAC+S△APB，

由（2）得S△PAC= m（m+2），

又S△PAB= AB×|yP|，

∵P在第四象限，

∴yP＜0，

∴S△PAB= ×AB×|yP|= ×6×（- m2+m+4），

∴S=S△ACP+S△APB=-m2+4m+12=-（m-2）2+16，

∵0＜m＜4，12＜S≤ ，

此时当12＜S＜16时，对应的点P有且只有2个，

当S=16时，对应的点P有且只有1个，

由①②得：

当12≤S≤ ，对应的点P有且只有2个；

当S= 时，对应的点P有且只有1个；

当12＜S＜16时，对应的点P有且只有2个，

当S=16时，对应的点P有且只有1个；

综上所述： ＜S＜16时，对应的点P有且只有2个．

【解析】（1）可利用二次函数图像的特殊点加上所给条件，易得a=-1，解得二次函数解析式
（2）由于p在x轴下方，考虑实际情况，可能出现y轴左右两种情况，所以要分情况讨论，在利用坐标轴把三角形分为两个以坐标轴为底边的三角形，结合所给数据，还有△PAC的面积为 可列方程从而得到m的值，再得到点p的坐标，需要注意的是保证所取得的坐标在取值范围之内。
（3）由（2）可知要分情况讨论，利用（2）所得的数据可以计算出每一段函数中p对应的个数，从而取得点P有且只有2个时S的取值范围