Question

【题目】如图，在ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．

(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.

(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）根据“菱形ABCD的对角线互相垂直平分”的性质推知OE是△BDE的边BD上的中垂线，结合角平分线的性质可知△DEB为等腰三角形；

（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”．根据平行四边形ABCD的对角线相互平分知OD=OB，结合角平分线的性质推知OE是BD的中垂线，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直．

试题解析：（1）连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，且BO=OD.

又∵E是AC延长线上的一点，

∴EO是△BDE的边BD的中垂线，∠DEB的角平分线，

∴△DEB是等腰三角形，

∴BE=DE；

（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，

它是真命题，理由如下：

∵平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，

∴BO=OD.

又∵BE=DE

∴EO⊥BD，即AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形。