Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+0.5交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标；

（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）点P的坐标为（0.5，2.25）（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣， ）．

【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），

∴将点A和点B的坐标代入得： ，

解得a=﹣1，b=1，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．

（2）直线y=mx+0.5交抛物线与A、Q两点，

把A（﹣1，0）代入解析式得：m=0.5，

∴直线AQ的解析式为y=0.5x+0.5．

设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，0.5 n+0.5），F（n，0），

∴PN=﹣n2+n+2﹣（0.5n+0.5）=﹣n2+0.5n+1.5，NF=0.5n+0.5．

∵PN=2NF，即﹣n2+0.5n+1.5=2×（0.5n+0.5），解得：n=﹣1或0.5．

当n=﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．

∴点P的坐标为（0.5，2.25）．

（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣0.5）2+2.25，

∴M（0.5，2.25）．

如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．

设直线AM的函数解析式为y=kx+b，且过A（﹣1，0），M（0.5，2.25）．

根据题意得：-k+b=0,0.5k+b=2.25，

解得k=1.5,b=1.5．

∴直线AM的函数解析式为y=1.5+1.5．

∵D为AC的中点，∴D（﹣0.5，1）．

设直线AC的解析式为y=kx+2，

将点A的坐标代入得：﹣k+2=0，

解得k=2，

∴AC的解析式为y=2x+2．

设直线DE的解析式为y=﹣0.5x+c，

将点D的坐标代入得：0.25+c=1，

解得c=0.75，

∴直线DE的解析式为y=﹣0.5x+0.75．

将y=﹣0.5x+0.75与y=1.5+1.5联立，解得：x=﹣，y=．

∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣， ）．