Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABO的底边OA在x轴上，顶点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，当底边OA上的点A在x轴的正半轴上自左向右移动时，顶点B也随之在反比例函数y= （x＞0）的图象上滑动，但点O始终位于原点．

（1）如图①，若点A的坐标为（6，0），求点B的坐标；
（2）当点A移动到什么位置时，三角形ABO变成等腰直角三角形，请说明理由；
（3）在（2）中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y= （x＞0）的图象上，斜边A1A在x轴上，求点A1的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图①，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵OB=AB，

∴OC=AC，点A移动到什么位置时，三角形ABO变成等腰直角三角形，

∵点A的坐标为（6，0），

∴OC= OA=3，

∵顶点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

∴y= =4，

∴点B的坐标为：（3，4）

（2）

解：点A移动到（4 ，0）时，△ABO变成等腰直角三角形．

理由：如图②，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴BC=OC= OA，

设点B（a，a），

∵顶点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

∴a= ，

解得：a=±2 （负值舍去），

∴OC=2 ，

∴OA=2OC=4 ，

∴点A移动到（4 ，0）时，△ABO变成等腰直角三角形

（3）

解：如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，

∵△PA1A是等腰直角三角形，

∴PD=AD，

设AD=b，则点P（4 +b，b），

∵点P在反比例函数y= （x＞0）的图象上，

∴b= ，

解得：b1=2 ﹣2 ，b2=﹣2 ﹣2 （舍去），

∴AA1=2b=4 ﹣4 ，

∴OA1=OA+AA1=4 ，

∴点A1的坐标为：（4 ，0）．

【解析】（1）首先过点B作BC⊥x轴于点C，由等腰三角形的三线合一，可得OC=AC=3，然后由顶点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求得点B的坐标；（2）首先由等腰直角三角形的性质，可得OC=BC，然后由顶点B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求得点B的坐标，继而求得点A的坐标；（3）首先过点P作PD⊥x轴于点D，易得AD=PD，则可设AD=b，则点P（4 +b，b），又由点P在反比例函数y= （x＞0）的图象上，求得b的值，继而求得答案．