Question

【题目】如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）

（1）填空：BC的长是 ；

（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）S=．

【解析】

试题分析：（1）由图象即可解决问题．（2）分三种情形：①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．③如图3中，根据S=CDCM，求出CM即可解决问题．

试题解析：（1）由图象可知BC=3．

（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，

由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，

∴AB=，

∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，

∴△BMD∽△BCA，

∴，

∴DM=，BM=，

∵BD=DF，DM⊥BF，

∴BM=MF，

∴S△BDF=x2，

∵EG∥AC，

∴，

∴，

∴EG=（x+2），

∴S四边形ECAG= [2+（x+2）]（1﹣x），

∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣x2﹣ [2+（x+2）]（1﹣x）=﹣x2+x+．

②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，

在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，

∴x2=22+（3﹣x）2，

∴x=，

∴当1＜x≤时，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2，

③如图3中，当＜x≤3时，

∵DM∥AN，

∴，

∴，

∴CM=（3﹣x），

∴S=CDCM=（3﹣x）2，

综上所述S=．