Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．

(1)求证：DF为⊙O的切线；

(2)若AE＝4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）4π－8

【解析】试题分析：（1）连接AD、OD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，于是可判断OD为△ABC的中位线，所以OD∥AC，则DF⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；

（2）利用S阴影=S扇形AOE-S△AOE进而求出答案．

试题解析：(1)连接AD，OD.

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.

∵AB=AC ，

∴D是BC的中点.

∵O是AB的中点，

∴OD//AC.

∴∠ODF+∠DFA=180°

∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°.

∴∠ODF=90°. ∴OD⊥DF

∴DF是⊙O的切线.

(2)连接OE

∵∠ADB=∠ADC=90°，∠DFC=∠DFA=90°，

∴∠DAC=∠CDF=22.5°

∵AB=AC，D是BC中点，

∴∠BAC=2∠DAC=2×22.5°=45°.

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠BAC=45°.

∴∠AOE=90° .

∵AE=4,

∴OA=OE=4.

S阴影=S扇形AOE－S△AOE=4π－8.