Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，以AD为腰作等腰△ADE，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接CE．

（1）求证：BD=CE；
（2）已知BC=8，∠BAC=∠DAE=30°，若△DCE的面积为1，求线段BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠BAC=∠DAE，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠EAC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

（2）

解: 过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ACE=∠B，

∵∠BAC=30°，

∴∠B+∠ACB=150°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，

∴∠DCF=30°，

∴DF= CD= （BC﹣BD）= （8﹣BD），

∵CE=BD，

∴DF=4﹣ CE，

∵△DCE的面积为1，

∴ DFCE= CFBD= （8﹣BD）BD=1，

解得：BD=4﹣ ，BD=4+ （不合题意，舍去）．

【解析】（1）易证∠BAD=∠EAC，即可证明△ABD≌△ACE，即可得到结论；（2）过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，由△ABD≌△ACE，得到∠ACE=∠B，根据∠BAC=30°，于是得到∠B+∠ACB=150°，等量代换得到∠BCE=∠ACB+∠ACE=150°，由邻补角的性质得到∠DCF=30°，根据直角三角形的性质得到DF= CD= （BC﹣BD）= （8﹣BD），根据△DCE的面积为1，列方程即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．