Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；
（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，

∴∠QAB=∠PAD，

又∵∠ABQ=∠ADP=90°，

∴△ADP∽△ABQ

（2）

解：∵△ADP∽△ABQ，

∴ ，即 ，解得QB=2x．

∵DP=x，CD=AB=20，

∴PC=CD﹣DP=20﹣x．

如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，

∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，

∴点N为QC中点，MN为中位线，

∴MN= PC= （20﹣x）=10﹣ x，

BN= QC﹣BC= （BC+QB）﹣BC= （10+2x）﹣10=x﹣5．

在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10﹣ x）2+（x﹣5）2= x2﹣20x+125，

∴y= x2﹣20x+125（0＜x＜20）．

∵y= x2﹣20x+125= （x﹣8）2+45，

∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为 =

（3）

解：设PQ与AB交于点E．

如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN．

∵△ADP∽△ABQ，

∴ ，即 ，解得QB= a．

∵AB∥CD，

∴△QBE∽△QCP，

∴ ，即 ，解得BE= ．

∵MN为中位线，

∴MN= PC= （a﹣8）．

∵BE＞MN，

∴ ＞ （a﹣8），解得a＞12.5．

∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5．

【解析】（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关系式，这是一个二次函数，求出其最小值；（3）如解答图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE＞MN”．分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）才能正确解答此题．