Question

【题目】如图1，已知△ABC中，∠ABC=45°，点E为AC上的一点，连接BE，在BC上找一点G，使得AG=AB，AG交BE于K．

（1）若∠ABE=30°，且∠EBC=∠GAC，BK=4，求AC的长度．

（2）如图2，过点A作DA⊥AE交BE于点D，过D、E分别向AB所在的直线作垂线，垂足分别为点M、N，且NE=AM，若D为BE的中点，证明： DG=2AG．

Answer 1

【答案】（1）AC=2；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）如图1中，作AH⊥BG于H．在Rt△ABK中，求出AK、AB．在Rt△ABH中，求出AH．在Rt△AHC中，证明∠C=30°，即可推出AC=2AH，由此解决问题．

（2）如图2中，连接EG．由△MAD≌△NEA，推出AD=AE再证明△BAD≌△GAE，推出BD=EG=DE，∠ABD=∠AGE，推出DGE是等腰直角三角形，设AD=AE=a，求出DG、AG即可解决问题．

试题解析：解：（1）如图1中，作AH⊥BG于H．

在Rt△ABK中，∵∠BAK=90°，∠ABK=30°，BK=4，∴AK=BK=2，AB==．∵AB=AG，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠AGB=45°，∠CBE=∠CAG=15°．∵∠AGB=∠C+∠CAG，∴∠C=30°．在Rt△AHC中，∵∠AHC=90°，∠C=30°，∴AC=2AH．在Rt△ABH中，AH=BH=AB=，∴AC=．

（2）如图2中，连接EG．∵DM⊥AB，EN⊥BA，∴∠AMD=∠N=∠DAE=90°，∴∠MAD+∠NAE=90°，∠NAE+∠NEA=90°，∴∠MAD=∠NEA．

在△MAD和△NEA中，∵∠MAD=∠AEN，AM=NE，∠AMD=∠NEA，∴△MAD≌△NEA，∴AD=AE．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠GAE．

在△BAD和△GAE中，∵BA=AG，∠BAD=∠GAE，AD=AE，∴△BAD≌△GAE，∴BD=EG=DE，∠ABD=∠AGE．∵∠AKB=∠EKG，∴∠KEG=∠KAB=90°，∴△DGE是等腰直角三角形．设AD=AE=a，∴∠ADE=∠EDG=45°，∴∠ADG=90°，∴DE=BD=EG=a，DG=DE=2a．

在Rt△ADG中，AG== ，∴，∴DG=2AG．