Question

【题目】已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，

∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=45°，

∴∠ACF+∠ACB=90°，

∴BD⊥CF；

②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，

∵BD=BC﹣CD，

∴CF=BC﹣CD；

（2）

与（1）同理可得BD=CF，

所以，CF=BC+CD

（3）

①与（1）同理可得，BD=CF，

所以，CF=CD﹣BC；

②∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

则∠ABD=180°﹣45°=135°，

∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，

∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中， ，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴∠ACF=∠ABD=180°﹣45°=135°，

∴∠FCD=∠ACF﹣∠ACB=90°，

则△FCD为直角三角形，

∵正方形ADEF中，O为DF中点，

∴OC= DF，

∵在正方形ADEF中，OA= AE，AE=DF，

∴OC=OA，

∴△AOC是等腰三角形

【解析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC﹣CD；（2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；（3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD﹣BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC= DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰三角形的判定和正方形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．