Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．PQ=4，PE=1

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）求∠BPQ的度数．

（3）求AD的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）60°；（3）9

【解析】【试题分析】

（1）根据等边三角形的性质，易得AB=AC，∠BAC=∠C=60°，因为AE=CD,根据SAS判定，易得△ABE≌△CAD；

（2）根据全等三角形的性质得，∠ABE=∠CAD，利用等量代换得：∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°；

（3） 在中， 因为 PQ=4，所以BP=8，由于PE=1，所以BE=BP+PE=8+1=9，因为AD=BE,所以 AD=9.

【试题解析】

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

在△ABE与△CAD中，

AB=AC，∠BAC=∠C=60°，AE=CD，

∴△ABE≌△CAD（SAS）；

（2）由（1）知△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．

（3）在中，

PQ=4， ,

BP=8，由于PE=1，

BE=BP+PE=8+1=9， AD=BE, AD=9.