Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90，当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF，BD所在直线位置关系为 ，数量关系为 .

（2）如果AB=AC，∠BAC=90，当点D在线段BC的延长线时，如图3，（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由。

（3）如果AB=AC,∠BAC是钝角，点D在线段BC上，当∠ABC满足什么条件时,CF⊥BC(点C、F不重合)画出图形,并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立 （3）当∠ACB=45时

【解析】分析: （1）①证明△BAD≌△CAF，可得：BD=CF，∠B=∠ACF=45°，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，所以BD与CF相等且垂直；

②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：垂直且相等；

（2）当∠ACB满足45°时，CF⊥BC；如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论.

详解:

（1）CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等

（2）当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立

由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°

∵∠BAC=90v，

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD

∠ACF=∠ABD

∵∠BAC=90°，AB=AC

∴∠ABC=45°

∴∠ACF=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

即CF⊥BD.

（3）当∠ACB=45°时，CF⊥BD，理由：

过点A作AG⊥AC交BC于点G

∴AC=AG

可证得：△GAD≌△CAF

∴∠ACF=∠AGD=45°

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

即CF⊥BD.

点睛: 本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，本题的三个结论都是证明三角形全等得出，所以利用SAS证明三角形全等是本题的关键；第（2）问，恰当地作辅助线，构建等腰直角三角形，同样也是构建两个三角形全等得出结论.