Question

【题目】如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE
（1）求证：AC2=AEAB；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，连接BC，

∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，

∴ = ，

∴∠A=∠ABC，

∵EC=AE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△AEC∽△ACB，

∴ ，

∴AC2=AEAB

（2）解：PB=PE，理由是：

如图2，连接OB，

∵PB为⊙O的切线，

∴OB⊥PB，

∴∠OBP=90°，

∴∠PBN+∠OBN=90°，

∵∠OBN+∠COB=90°，

∴∠PBN=∠COB，

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∠COB=2∠A，

∴∠PEB=∠COB，

∴∠PEB=∠PBN，

∴PB=PE

（3）解：如图3，∵N为OC的中点，

∴ON= OC= OB，

Rt△OBN中，∠OBN=30°，

∴∠COB=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB为等边三角形，

∵Q为⊙O任意一点，

连接PQ、OQ，

因为OQ为半径，是定值4，

则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，

当P、Q、O三点共线时，PQ最小，

∴Q为OP与⊙O的交点时，PQ最小，

∠A= ∠COB=30°，

∴∠PEB=2∠A=60°，

∠ABP=90°﹣30°=60°，

∴△PBE是等边三角形，

Rt△OBN中，BN= =2 ，

∴AB=2BN=4 ，

设AE=x，则CE=x，EN=2 ﹣x，

Rt△CNE中，x2=22+（2 ﹣x）2，

x= ，

∴BE=PB=4 ﹣ = ，

Rt△OPB中，OP= = = ，

∴PQ= ﹣4= ．

则线段PQ的最小值是 ．

【解析】（1）证明△AEC∽△ACB，列比例式可得结论；（2）如图2，证明∠PEB=∠COB=∠PBN，根据等角对等边可得：PB=PE；（3）如图3，先确定线段PQ的最小值时Q的位置：因为OQ为半径，是定值4，则PQ+OQ的值最小时，PQ最小，当P、Q、O三点共线时，PQ最小，先求AE的长，从而得PB的长，最后利用勾股定理求OP的长，与半径的差就是PQ的最小值．