Question

【题目】操作与证明：

如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断线段MD与MN的关系，得出结论；
结论：DM、MN的关系是：；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C旋转180°，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，

∵CE=CF，

∴BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE=AF，

∴△AEF是等腰三角形

（2）MN=DM,MN⊥DM
（3）解：结论仍然成立．

理由：如图2中，连接AE，设AE交DM于O，交CD于G．

∵AB=AD，BE=DF，∠ABE=∠ADF=90°，

∴△ABE≌△ADF，

∴AF=AE，∠AFD=∠AEB，

∵AM=MF，FN=EN，

∴MN= AE，DM= AF，

∴MN=DM，

∵DM=MF=AM，

∴∠MDF=∠MFD=∠AEB，

∵∠DGO=∠CGE，∠ODG=∠CEG，

∴∠DOG=∠ECG=90°，

∵NM∥AE，

∴∠DOG=∠DMN=90°，

∴MN⊥DM，MN=DM．

【解析】（2）解：结论：DM=MN，DM┴MN

证明：∵AM=FM，FN=EN，

∴MN= AE，DM= AF，

∵AE=AF，

∴MN=DM，

∵∠ADF=90°，AM=MF，

∴MD=MA=MF，

∴∠MAD=∠ADM，

∵∠DMF=∠MAD+∠ADM=2∠DAM，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠EAF+2∠DAM=90°，

∵MN∥AE，

∴∠NMF=∠EAF，

∴∠NMF+∠DMF=90°，

∴DM⊥MN．

∴MN=DM，MN⊥DM．

所以答案是MN=DM，MN⊥DM．

（1）欲证明△AEF是等腰三角形，只要证明△ABE≌△ADF即可；（2）结论：DM=MN，DM┴MN．利用三角形中位线定理．直角三角形斜边中线定理即可解决问题．（3）结论不变．证明方法类似．