【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，是边上的一点，，.反比例函数在第一象限内的图像经过点，交于点，.

(1)求这个反比例函数的表达式，

(2)动点在矩形内，且满足.

①若点在这个反比例函数的图像上，求点的坐标，

②若点是平面内一点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标.

参考答案：

【答案】（1）；（2）① ；②

【解析】

（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m6，n），利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，结合OC：CD＝5：3可求出n值，再将m，n的值代入k＝mn中即可求出反比例函数的表达式；

（2）由三角形的面积公式、矩形的面积公式结合S△PAO＝S四边形OABC可求出点P的纵坐标．

①若点P在这个反比例函数的图象上，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；

②由点A，B的坐标及点P的纵坐标可得出AP≠BP，进而可得出AB不能为对角线，设点P的坐标为（t，4），分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑：（i）当AB＝AP时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P1的坐标，结合P1Q1的长可求出点Q1的坐标；（ii）当BP＝AB时，利用勾股定理可求出t值，进而可得出点P2的坐标，结合P2Q2的长可求出点Q2的坐标．综上，此题得解．

解：（1）设点B的坐标为（m，n），则点E的坐标为（m，n），点D的坐标为（m6，n）．

∵点D，E在反比例函数的图象上，

∴k＝mn＝（m6）n，

∴m＝9．

∵OC：CD＝5：3，

∴n：（m6）＝5：3，

∴n＝5，

∴k＝mn＝×9×5＝15，

∴反比例函数的表达式为y＝；

（2）∵S△PAO＝S四边形OABC，

∴OAyP＝OAOC，

∴yP＝OC＝4．

①当y＝4时，＝4，

解得：x＝，

∴若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为（，4）．

②由（1）可知：点A的坐标为（9，0），点B的坐标为（9，5），

∵yP＝4，yA＋yB＝5，

∴y P≠，

∴AP≠BP，

∴AB不能为对角线．

设点P的坐标为（t，4）．

分AP＝AB和BP＝AB两种情况考虑（如图所示）：

（i）当AB＝AP时，（9t）2＋（40）2＝52，

解得：t1＝6，t2＝12（舍去），

∴点P1的坐标为（6，4），

又∵P1Q1＝AB＝5，

∴点Q1的坐标为（6，9）；

（ii）当BP＝AB时，（9t）2＋（51）2＝52，

解得：t3＝92，t4＝9＋2（舍去），

∴点P2的坐标为（92，4）．

又∵P2Q2＝AB＝5，

∴点Q2的坐标为（92，1）．

综上所述：点Q的坐标为（6，9）或（92，1）．

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