Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠B=60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．

（1）当∠BAM=　 　°时，AB=2BM；

（2）请添加一个条件：　 　，使得△ABC为等边三角形；

①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：BM=CN；

②如图2，当点M运动到线段BC之外时，其它条件不变，①中结论BM=CN还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）AB=AC；①见解析；②成立

【解析】试题分析：（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；

（2）利用等边三角形的判定解答；

①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；

②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．

试题解析：（1）当∠BAM=30°时，

∴∠AMB=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴AB=2BM；

故答案为：30；

（2）添加一个条件AB=AC，可得△ABC为等边三角形；

故答案为：AB=AC；

①∵△ABC与△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC，

即∠BAM=∠CAN，

在△BAM与△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM=CN；

②成立，理由如下；

∵△ABC与△AMN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，

即∠BAM=∠CAN，

在△BAM与△CAN中，

，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM=CN．