Question

【题目】已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵正方形ABCD

∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°

∵DP⊥AQ

∴∠ADP+∠DAP=90°

∴∠BAQ=∠ADP

∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P

∴∠AQB=∠DPA=90°

∴△AQB≌△DPA（AAS）

∴AP=BQ

（2）解：①AQ﹣AP=PQ

②AQ﹣BQ=PQ

③DP﹣AP=PQ

④DP﹣BQ=PQ

【解析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA，判定△AQB≌△DPA并得出结论；（2）根据AQ﹣AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析．本题主要考查了正方形以及全等三角形，解决问题的关键是掌握：正方形的四条边相等，四个角都是直角．解题时需要运用：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，以及全等三角形的对应边相等．