Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边的中点，过点B作BF⊥AB交AD的延长线于点F，CE平分∠ACB交AD于点E．

（1）判断四边形CEBF的形状，并证明；

（2）若AD=，求BF及四边形CEBF的面积．

Answer 1

【答案】（1）四边形CEBF是平行四边形，证明见解析；（2），四边形CEBF的面积=12．

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质、垂直的定义和角平分线的定义可得∠DCE＝∠CBF，而可根据ASA证明△CDE≌△BDF，于是可得DE＝DF，进一步即可得出结论；

（2）设CD=x，则AC=BC=2x，然后在Rt△ACD中，由勾股定理可求出x，从而可得AC、AB的长，由等腰三角形的性质可得CE垂直平分AB，进而可得AE=BE，然后根据等腰三角形的性质和判定以及余角的性质可得AE=EF，于是可得AD=3DE，AF=4DE，而AD已知，则DE和AF可得，于是可在直角△AFB中根据勾股定理求出BF，过点C作CG⊥DE于点G，如图，则由三角形的面积可求出CG的长，于是可得△CDE的面积，而所求的四边形CEBF的面积是△CDE面积的4倍，问题即得解决．

（1）四边形CEBF是平行四边形．

证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠ABC＝45°，

∵FB⊥AB，

∴∠ABF＝90°，

∴∠CBF＝45°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠DCE＝45°＝∠CBF，

又∵DC=DB，∠CDE=∠BDF，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴DE＝DF，

∵DC=DB，

∴四边形CEBF是平行四边形；

（2）解：设CD=x，则AC=BC=2x，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：，

解得：x=3，

∴CD=3，AC=BC=6，

∴，

∵AC=BC，CE平分∠ACB，

∴CE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠BAE=∠ABE，

∵∠BAE+∠AFB=90°，∠ABE+∠FBE=90°，

∴∠AFB=∠FBE，

∴EF=BE，

∴AE=EF，

∵EF=2DE，

∴AD=3DE，AF=4DE，

∴，

∴，

∴，

过点C作CG⊥DE于点G，如图，则由三角形的面积可得：，

即，解得：，

∴S△CDE =，

∴四边形CEBF的面积=4S△CDE=4×3=12．