Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，DF//AE，AF与CD相交于点G.

（1）如图1，当∠AEC = ，AE=4时，求FG的长；

（2）如图2，在AB边上截取点H，使得DH=AE，DH与AF、AE分别交于点M、N，求证：AE=AH+DG

Answer 1

【答案】（1）FG＝2；（2）见解析.

【解析】

（1）根据正方形的性质，平行线的性质，角平分线的性质可得出∠DAF=∠F=30°，进一步可求得∠GDF=∠F=30°，从而得出FG=DG，利用勾股定理可求出DG=2，故FG=2.

（2）根据已知条件可证得AE=DH且AE⊥DH，从而证得∠MAH=∠AMH,∠DMG=∠DGM,从而证得AH=MH，DM=DG，而AE=DH=DM+MH即AE=AH+DG.

（1）当∠AEC＝120°，即∠DAE＝60°，

即∠BAE＝∠EAG＝∠DAG＝30°，

在三角形ABE中，

AE＝4，

所以，BE＝2，AB＝2，

所以，AD＝AB＝2，

又DF∥AE，所以，∠F＝∠EAG＝30°，

所以，∠F＝∠DAG＝30°，

又所以，∠AGD＝60°，所以，∠CDG＝30°，

所以　FG＝DG

在△ADG中，AD＝2，所以，DG＝2，FG＝2

（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DAH=∠ABE=90°，AD=AB,

在Rt△ADH和Rt△BAE中

∴Rt△ADH≌Rt△BAE，

∴∠ADH=∠BAE,

∵∠BAE+∠DAE=90°，

∴∠ADH+∠DAE=90°，

∴∠AND=90°.

∵AF平分∠DAE，

∴∠DAG=∠EAG,

∵∠ADH=∠BAE,

∴∠DAG+∠ADH=∠EAG+∠BAE.

即∠MAH=∠AMH.

∴AH=MH.

∵AE∥DF,

∴∠MDF=∠AND=90°,∠DAF=∠F

∴∠GDF=∠ADM,

∴∠ADM+∠DAF=∠GDF+∠F,

即∠DMG=∠DGM.

∴DM=DG.

∵DH=DM+HM,

∴AE=AH+DG.