Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，速度为每秒1cm，

∴出发2秒后，则CP=2cm，

∵∠C=90°，

∴PB= = cm，

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+ =7+ （cm）

（2）解：∵AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，

∴P在AC上运动时△BCP为直角三角形，

∴0＜t≤4，

当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，

∵ ×AB×CP= AC×BC，

∴ ×5×CP= 3×4，

解得：CP= cm，

∴AP= = cm，

∴AC+AP= cm，

∵速度为每秒1cm，

∴t= ，

综上所述：当0＜t≤4或t= ，△BCP为直角三角形

（3）解：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t+2t﹣3=3，

∴t=2；

当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t﹣4+2t﹣8=6，

∴t=6，

∴当t=2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

【解析】（1）首先利用勾股定理计算出AC长，根据题意可得CP=2cm，再利用勾股定理计算出PB的长，进而可得△ABP的周长；（2）当P在AC上运动时△BCP为直角三角形，由此可得0＜t≤4；当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，首先计算出CP的长，然后再利用勾股定理计算出AP长，进而可得答案．（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=3；当P点在AB上，Q在AC上，则AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和勾股定理的逆定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．