Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD=x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】过A点作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，分类讨论：当0≤x≤2时，如图1，易得PD=BD=x，根据三角形面积公式得到y=x2；当2＜x≤4时，如图2，易得PD=CD=4﹣x，根据三角形面积公式得到y=﹣x2+2x，于是可判断当0≤x≤2时，y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分，当2＜x≤4时，y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

解：过A点作AH⊥BC于H，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=BC=2，

当0≤x≤2时，如图1，

∵∠B=45°，

∴PD=BD=x，

∴y=xx=x2；

当2＜x≤4时，如图2，

∵∠C=45°，

∴PD=CD=4﹣x，

∴y=（4﹣x）x=﹣x2+2x，

故选B

“点睛”本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系.