Question

【题目】如图(1)，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC，连接AE．


（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明 AE∥BC 的理由；
（3）如图(2)，将(1)动点 D 运动到边 BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：△DBC≌△EAC ，理由如下：
∵△ABC、△EDC均为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE
在△DBC 和△EAC 中，

∴△DBC≌△EAC（SAS）.

（2）解：由（1）知△DBC≌△EAC，
∴∠EAC=∠B=60° ，
又∵∠ACB=60°，
∴∠EAC=∠ACB，
∴AE∥BC.

（3）解：AE∥BC 仍然成立；理由如下：
∵△ABC、△EDC 为等边三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
又∵∠BCD=60°﹣∠ACD，∠ACE=60°﹣∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△DBC 和△EAC 中，

∴△DBC≌△EAC（SAS），

∴∠EAC=∠B=60° ，
又∵∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC．

【解析】（1）△DBC≌△EAC ，理由如下：由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，再根据等量代换求出∠BCD=∠ACE；最后根据SAS得△DBC≌△EAC.
（2）由（1）知△DBC≌△EAC，根据全等三角形的对应角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代换得出∠EAC=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，从而得证.
（3）AE∥BC 仍然成立；理由如下：由等边三角形的性质得出BC=AC，DC=CE，∠BCA=∠DCE=60°，再根据等量代换求出∠BCD=∠ACE；最后根据SAS得△DBC≌△EAC；再根据全等三角形的对应角相等得出∠EAC=∠B=60° ，又∠ACB=60°，等量代换得出∠EAC=∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，从而得证.
【考点精析】掌握平行线的判定和等边三角形的性质是解答本题的根本，需要知道同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．