Question

【题目】用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合．将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BE＝CF．见解析；（2）BE＝CF仍然成立．理由见解析.

【解析】

（1）根据图形中BE、CF的长度可以直接得出BE＝CF的结论，当然也可以通过证明△ABE≌△ACF得出结论．

（2）可以通过证明△ADF≌△ACE，得出CE＝DF，进而得出BE＝CF．

（1）BE＝CF．

证明：在△ABE和△ACF中，

∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，

∴∠BAE＝∠CAF．

∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．

∴BE＝CF；

（2）BE＝CF仍然成立．

证明：在△ACE和△ADF中，

∵∠CAE+∠EAD＝∠FAD+∠DAE＝60°，

∴∠CAE＝∠DAF，

∵∠BCA＝∠ACD＝60°，

∴∠FCE＝60°，

∴∠ACE＝120°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠ADF＝120°，

在△ACE和△ADF中，

∴△ADF≌△ACE，

∴CE＝DF，

∴BE＝CF.