例4、（2003年天津）已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵，  ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.

因此，直线OP和AP的方程分别为   和 .

消去参数λ，得点的坐标满足方程.

整理得  ……①       因为所以得：

（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

   （ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；

   （iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：

在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是，求P的轨迹。

而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）：

三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。