4．与导数相综合

近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合，如03年的天津文科试题、04年的湖南文理科试题，都分别与向量综合．

例10（04年湖南文理科试题）如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（I）设点P分有向线段所成的比为，证明: 

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

    解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得     ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以     

由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得

又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，－m），从而.

所以 

（Ⅱ）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

由   得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是则

解之得

所以圆C的方程是  即