23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程

已知曲线C₁：（为参数），曲线C₂：（t为参数）．

（Ⅰ）指出C₁，C₂各是什么曲线，并说明C₁与C₂公共点的个数；

（Ⅱ）若把C₁，C₂上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．

解：（Ⅰ）是圆，是直线．

的普通方程为，圆心，半径．

的普通方程为．

因为圆心到直线的距离为，

所以与只有一个公共点．

（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为

：（为参数）； ：（t为参数）．

化为普通方程为：：，：，

联立消元得，

其判别式，

所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．