20．本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．

（Ⅰ）证明：由题设，得

，

即

．

又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），

，

，

……

．

将以上各式相加，得．所以当时，

上式对显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．

由可得，由得

，      ①

整理得，解得或（舍去）．于是

．

另一方面，

，

．

由①可得

．

所以对任意的，是与的等差中项．