31.解法一：依题意，设M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁≠x₂，则x₁，x₂为方程x²+2ax-2b+1=0

的两个实数根，

∴                         ，・.

∵x₁，x₂又是方程的两个实数根，

∴                         x₁+x₂=a-3，x₁・x₂=1-b₂.

∴                            

解得                           或

当a=1,b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，

∴a=1，b=0舍去.

当a=1；b=2时，二次函数和符合题意.