26. 解：（1）由已知条件得：

梯形周长为12，高4，面积为28。

过点F作FG⊥BC于G

过点A作AK⊥BC于K

则可得：FG=×4

∴S△BEF=BE・FG=－x²+x（7≤x≤10）--------------（3分）

（2）存在  -----------------------------------------------------------------（4分）

由（1）得：－x²+x=14得x₁=7       x₂=5（不合舍去）

∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7-----------------（6分）

（3）不存在 ----------------------------------------------------------------------------------（7分）

根据S_△BEF∶S_AFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2 --------------------- （9分）

则有－x²+x=整理得：3x²－24x+70=0    △=576－840<0 ----------------（11分）

∴不存在这样的实数x.

即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积。

同时分成1∶2的两部分  ----------------------------------------------------------------（12分）