一、选择题：ADBAA BCCDB
二、填空题
11.; 12． ; 13．
14．（）③⑤ （）②⑤ 15． （）； （） 0
三、解答题：
16．解：（1）
…………5分
由成等比数列，知不是最大边
…………6分
（2）由余弦定理
得ac=2 …………11分
= …………12分
17.解：（Ⅰ）．
（Ⅱ）．
1当时，则．此时轮船更安全．
2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．
3当时，则．此时轮船更安全．
解：方法一
（Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.
在△中，，，，
由余弦定理有
，
所以二面角的大小是.（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.
故. …（12分）
19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?
∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，
∴x・AEsin60°＝・（2a）2，?
解得AE＝，?
在△ADE中，由余弦定理:?
y2＝x2＋・cos60°，?
∴y2＝x2＋－2a2
∴y＝ (a≤x≤2a)?
（Ⅱ）证明:∵y＝ (a≤x≤2a)，令x2＝t，则a2≤t≤4a2
且y＝，设f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?
当t∈（a2，2a2）时，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?
f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）
＝（t1－t2）・，?
∵a2＜t1＜t2＜2a2?
∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?
∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?
∴f（x）在（a2，2a2）上是减函数.?
同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函数.?
又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，当t＝2a2时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a2或4a2时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且ymax＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?
20.解：（Ⅰ）∵，∴，
又∵，∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为． ………（3分）
当的斜率为0时，显然=0，满足题意，
当的斜率不为0时，设方程为，
代入椭圆方程整理得：．
，，．
则
而
∴，从而．
综合可知：对于任意的割线，恒有． ………（8分）
（Ⅱ），
即：，
当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．
∴三角形△ABF面积的最大值是． ………………………………（13分）
21.解：（Ⅰ）由
故x>0或x≤－1
f(x)定义域为 …………………………（4分）
（Ⅱ）
下面使用数学归纳法证明：
①在n=1时，a1=1，<a1<2，则n=1时（*）式成立.
②假设n=k时成立，
由
要证明：
只需
只需(2k+1)3≤8k(k+1)2
只需1≤4k2+2k
而4k2+2k≥1在k≥1时恒成立.
只需证：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.
于是：
因此得证.
综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立. ………………9分
（Ⅲ）要证明：
由（2）可知只需证：
…………（**）
下面用分析法证明：（**）式成立。
要使（**）成立，只需证：
即只需证：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)
只需证：2n>1
而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：
于是由（**）式可知有：
因此有：
……………………………………（13分）
雅礼中学2008届高三第八次质检数学（理科）试题参考答案
当的斜率不为0时，设
搜索
; 12． 
;
13． 
）③⑤ （
）②⑤
15． （
； （
…………5分
成等比数列，知
不是最大边
…………6分
=
…………12分
．
．
时，则
．此时轮船
更安全．
时，则
．此时轮船
一样安全．
时，则
．此时轮船
（Ⅰ）取
的中点
，连结
，由
知
，又
，故
，所以
即为二面角
的平面角.
中，
，
，
，
，
.（6分）
平面
平面
上的射影一定在直线
的距离即为△
.
…（12分）
∴
x・AEsin60°＝
（
，?
・
－
(a≤x≤
，设f（t）＝t＋
（a2≤t≤
）－（t2＋
）
，?
a时，y有最小值，且ymin＝
a，此时DE为AB或AC边上的中线.?
20.解：（Ⅰ）∵
，∴
，
，∴
，
，
．
………（3分）
的斜率为0时，显然
=0，满足题意，
，
．
，
，
．
，
，从而
，恒有
，
，
，即
（此时适合于
的条件）取到等号．
． ………………………………（13分）
…………………………（4分）
成立，
得证.
…………（**）
……………………………………（13分）
