23．                            解：(Ⅰ)∵f ′(x)在区间[1，e]上是增函数，

∴　最大值是＋1，最小值是.                            ………………2分

(Ⅱ)设F(x)＝x²＋lnx－x³，

则F'(x)＝x＋－2x²＝.                  ……………………4分

∵x＞1，∴F'(x)＜0，所以函数F(x)在区间(1，＋¥)上单调递减。…………………5分

又　F(1)＝－＜0，∴　在区间(1，＋¥)上，F(x)＜0，

即　x²＋lnx＜x³.

∴函数f (x)的图象在函数g (x)＝x³的下方.                ……………………7分

(Ⅲ)当n＝1时，不等式成立。                            ……………………8分

当n≥2时，

[h (x)] ⁿ－h (x ⁿ)＝(x＋)ⁿ－(x ⁿ＋)

＝[(x ^n-2＋)＋(x ^n-4＋)＋…＋(x ^n-2＋) ].    ……………10分

由已知x＞0，[h (x)] ⁿ－h (x ⁿ)≥＋＋…＋＝2ⁿ－2，

∴[h (x)] ⁿ＋2≥h (x ⁿ)＋2 ⁿ                                                 ……………………12分