如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，

（Ⅰ）明MF是异面直线AB与PC的公垂线；

  • 答案

 

一、选择题：每小题5分，共60分.

（1）D     （2）A     （3）D      （4）A     （5）B      （6）C 

（7）C     （8）C     （9）B      （10）B    （11）D      （12）D

二、填空题：每小题4分，共16分.

（13）－2   （14）   （15）   （16）[－1，3]

三、解答题：共74分.

（17）（本小题12分）

解：

     

故该函数的最小正周期是；最小值是－2；

单增区间是[]，

（18）（本小题12分）

      解：（I）的所有可能值为0，1，2，3，4

             用AK表示“汽车通过第k个路口时不停（遇绿灯）”，

则P（AK）=独立.

故

 

从而有分布列：

 

            0     1       2        3        4

 

    P                          

            

             （II）

             答：停车时最多已通过3个路口的概率为.

   （I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，

又AM∥CD∥EF，且AM=EF，

证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，

而MF∥AE，得MF⊥面PCD，

故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

      （II）解：连结BD交AC于O，连结BE，过O作BE的垂线OH，

        垂足H在BE上.

               易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，

               又OH⊥BE，故OH//DE，

               因此OH⊥面MAE.

               连结AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角 

               设AB=a，则PA=3a， .

               因Rt△ADE~Rt△PDA，故

              

              

（20）（本小题12分）

      解：（I）

      

             因此是极大值点，是极小值点.

             （II）因

       

             又由（I）知

            

             代入前面不等式，两边除以（1+a），并化简得

       

（21）（本小题12分）

   解法一：由题意，直线AB不能是水平线，  故可设直线方程为：.

   又设，则其坐标满足

      由此得  

     

      因此.

      故O必在圆H的圆周上.

      又由题意圆心H（）是AB的中点，故

     

      由前已证，OH应是圆H的半径，且.

      从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.

      此时，直线AB的方程为：x=2p.

      解法二：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky=x－2p

      又设，则其坐标满足

   分别消去x，y得

      故得A、B所在圆的方程

      明显地，O（0，0）满足上面方程所表示的圆上，

      又知A、B中点H的坐标为

      故

      而前面圆的方程可表示为

      故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

      又，

      故当k=0时，R2最小，从而圆的面积最小，此时直线AB的方程为：x=2p.

      解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上

      又直径|AB|=

      上式当时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小.

      此时直线AB的方程为x=2p.

（22）（本小题14分）

      （I）证法一：当不等式成立.

                

                 综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立.

                 证法二：当n=1时，.结论成立.

                 假设n=k时结论成立，即

                 当的单增性和归纳假设有

                

                 所以当n=k+1时，结论成立.

                 因此，对一切正整数n均成立.

                 证法三：由递推公式得

                

                 上述各式相加并化简得 

                

      （II）解法一：

        

                 解法二：

I

                 解法三：

                         

                 故.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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