19．（本题12分）

如图，在四棱锥P―ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点。

   （1）求证：EF⊥CD；

   （2）求DB与平面DEF所成角的大小；

   （3）在平面PAD内是否存在一点G，使G在平面PCB上的射影为△PCB的外心，若存在，试确定点G的位置；若不存在，说明理由。

  • 答案

 

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1―5 BBACB    6―10 ADCDD    11―12 AB

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共16分，

13．14   14．2   15．30   16．①③

三、解答题（本大题共6小题，共计76分）

17．解：（1）  …………2分

   （2）由题设， …………10分

 …………12分

18．解：（1）记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是4”为事件A，则

 …………5分

所以第一次与第二次取到的地球上的号码的和是4的概率 …………6分

   （2）记“第一次与第二次取到的上的号码的积不小于6”为事件B，则

  …………11分

19．解法一：（1）∵E，F分别是AB和PB的中点，

∴EF∥PA  …………1分

又ABCD是正方形，∴CD⊥AD，…………2分

由PD⊥底面ABCD得CD⊥PD，CD⊥面PAD，

∴CD⊥PA，∴EF⊥CD。 …………4分

 

 

   （2）设AB=a，则由PD⊥底面ABCD及ABCD是正方形可求得

   （3）在平面PAD内是存在一点G，使G在平面PCB

上的射影为△PCB的外心，

G点位置是AD的中点。  …………9分

证明如下：由已知条件易证

Rt△PDG≌Rt△CDG≌Rt△BAG，…………10分

∴GP=GB=GC，即点G到△PBC三顶点的距离相等。 ……11分

∴G在平面PCB上的射影为△PCB的外心。 …………12分

解法二：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）。

   （1）

  …………4分

 

 

   （2）设平面DEF的法向量为

   （3）假设存在点G满足题意

20．解：（1）设

   （2）

21．（1）令 …………1分

而  …………2分

   （2）设

   （3）由

∴不等式化为  …………6分

由（2）已证 …………7分

①当

②当不成立，∴不等式的解集为 …………10分

③当，

22．解：（1）  …………1分

   （2）设

①当

②当

 

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